3.12. Требуемая площадь сечения сжатой ненапрягаемой арматуры при известной площади напрягаемой арматуры А¢_sp (например, принятой из условия ограничения начальных трещин) определяется по формуле

; (32)

Если принятая площадь сечения сжатой ненапрягаемой арматуры близка к ее значению А'_s, вычисленному по формуле (32), то требуемая площадь сечения напрягаемой арматуры растянутой зоны определяется по формуле

, (33)

где x_R - см. п. 3.6, а также примечание к п. 3.11.

Если принятая площадь сечения сжатой арматуры A'_s значительно превышает ее требуемое значение из формулы (32), то площадь сечения напрягаемой арматуры растянутой зоны определяется с учетом фактического значения А'_s.

В любом случае при наличии учитываемой в расчете арматуры S' требуемая площадь сечения напрягаемой арматуры растянутой зоны определяется по формуле

, (34)

где x - определяется по табл. 28 в зависимости от значения

; (35)

g_s6 — см. п. 3.7, при этом должно выполняться условие x < x_R (см. табл. 26 и 27).

Если a_m < 0, значение А_sp определяется по формуле

, (36)

где h - см. п. 3.7.

ТАВРОВЫЕ И ДВУТАВРОВЫЕ СЕЧЕНИЯ

3.13 (3.16). Расчет сечений, имеющих полку в сжатой зоне (тавровых, двутавровых и т.п.) и арматуру, сосредоточенную у растянутой и у сжатой граней элемента (черт. 6), производится в зависимости от положения границы сжатой зоны:

а) если граница сжатой зоны проходит в полке (черт. 6, а), т.е. соблюдается условие

g_s6R_sA_sp + R_sA_s £ R_b b¢_f h¢_f + R_sc A¢_s + s_sc A¢_sp , (37)

где g_s6 определяется по формуле (23) при x = h¢_f / h₀, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b'_f в соответствии с указаниями п. 3.9;

Черт. 6. Форма сжатой зоны в двутавровом поперечном сечении
железобетонного элемента

а - при расположении границы сжатой зоны в полке; б - то же, в ребре

б) если граница сжатой зоны проходит в ребре (черт. 6, б), т.е. условие (37) не соблюдается, то расчет производится следующим образом в зависимости от относительной высоты сжатой зоны x₁:

; (38)

при x₁ £ x_R - из условия

M £ R_b bx (h₀ - 0,5x) + R_b (b¢_f - b) h¢_f (h₀ - 0,5h¢_f) + R_sc A¢_s (h₀ - a¢_s) +

+ s_sc A¢_s (h₀ - a¢_p) , (39)

где . (40)

Здесь g_s6 определяется по формуле

, (41)

где ;

h - см. п. 3.7;

при x₁ > x_R — из условия

M £ R_b b h₀² + R_b (b¢_f - b) h¢_f (h₀ - 0,5h¢_f) + R_sc A¢_s (h₀ - a¢_s) +

+ s_sc A¢_sp (h₀ - a¢_p) , (42)

при напрягаемой арматуре растянутой зоны классов А-IIIв и А-III значение в условии (42) заменяется на a_R; a_R и a_m — см. п. 3.9 или табл. 28.

При большом количестве в растянутой зоне ненапрягаемой арматуры с физическим пределом текучести (когда R_sA_s > 0,2R_sA_sp) следует учитывать указания п. 3.9.

П р и м е ч а н и я: 1. При переменной высоте свесов полки допускается принимать значение h¢_f равным средней высоте свесов.

2. Ширина сжатой полки b'_f, вводимая в расчет, не должна превышать значений, указанных в п. 3.16.

3.14. Требуемая площадь сечения сжатой ненапрягаемой арматуры определяется по формуле

, (43)

где a_R — определяется по формуле a_R = x_R (1 - 0,5x_R);

x_R — см. п. 3.6.

При этом, если x_R £ h'_f / h₀, значение A'_s определяется как для прямоугольных сечений шириной b = b'_f согласно п. 3.12.

3.15. Требуемая площадь сечения напрягаемой арматуры, расположенной в растянутой зоне, определяется следующим образом:

а) если граница сжатой зоны проходит в полке, т.е. соблюдается условие

М £ R_b b'_f h'_f (h₀ - 0,5 h'_f) + R_sc A¢_s (h₀ - a'_s) + s_sc A¢_sp (h₀ - a'_p) , (44)

площадь сечения растянутой арматуры определяется как для прямоугольного сечения шириной b¢_f в соответствии с указаниями пп. 3.11 и 3.12;

б) если граница сжатой зоны проходит в ребре, т.е. условие (44) не соблюдается, площадь сечения растянутой напрягаемой арматуры определяется по формуле

, (45)

где x — определяется по табл. 28 в зависимости от значения

;

(46)

g_s6 - см. п. 3.7.

При этом должно соблюдаться условие x £ x_R , где x_R — см. п. 3.6 и табл. 26 и 27, а также примечание к п. 3.11.

3.16 (3.16). Вводимая в расчет ширина сжатой полки b¢_f принимается из условия, что ширина свеса в каждую сторону от ребра должна быть не более 1/6 пролета элемента и не более:

а) при наличии поперечных ребер или при h¢_f ³ 0,1h — 1/2 расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии поперечных ребер или при расстояниях между ними бóльших, чем расстояния между продольными ребрами, и h'_f < 0,1h - 6h'_f;

в) при консольных свесах полки:

при h¢_f ³ 0,1h ................................................. 6h¢_f

„ 0,05h £ h¢_f < 0,1h .................................... 3 h¢_f

„ h'_f < 0,05h ................... свесы не учитываются

Примеры расчета

Прямоугольные сечения

Пример 3. Дано: размеры сечения — b = 300 мм, h = 700 мм; а = 50 мм; нагрузки непродолжительного действия отсутствуют; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); напрягаемая арматура класса A-IV (R_s = 510 МПа), площадью сечения А_sр = 1847 мм² (3Æ28); предварительное напряжение при g_sp < 1: без учета потерь s_sp1 = 500 МПа, с учетом всех потерь s_sp2 = 400 МПа; ненапрягаемая арматура класса А-Ш (R_s = 365 МПа), площадью сечения А_s = 236 мм² (3Æ10); изгибающий момент М = 580 кН×м; натяжение арматуры электротермическое автоматизированное.

Требуется проверить прочность сечения.

Р а с ч е т. h₀ = 700 — 50 = 650 мм. По формуле (24) определим значение x₁:

.

Поскольку натяжение арматуры класса A-IV электротермическое автоматизированное, определим значение Ds_sp согласно п. 3.6:

Ds_sp = 1500 s_sp1 / R_s - 1200 = 1500×500/510 - 1200 = 270 МПа > 0.

Из табл. 26 при g_b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В25 и при = 1,31 находим x_R = 0,65.

Поскольку x₁ = 0,405 < x_R = 0,65, расчет ведем из условия (25), определяя высоту сжатой зоны х по формуле (26).

Так как сечение прямоугольное, то коэффициент g_s6 вычисляем по формуле (23) при x = 0,405 и h = 1,2:

g_s6 = h - (h - 1) = 1,2 - 0,2 = 1,15 < h = 1,2.

Тогда: = 300 мм ;

R_bbx(h₀ - 0,5x) = 13×300×300(650 - 0,5×300) =

= 585 × 10⁶ Н×мм = 585 кН×м > М = 580 кН×м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 4. Дано: размеры сечения - b = 300 мм, h = 700 мм; a = 60 мм, a¢_p = 30 мм; бетон тяжелый класса В30 (R_b = 15,5 МПа при g_b2 = 0,9); напрягаемая арматура класса Вр-II, диаметром 5 мм (R_s = 1050 МПа); ненапрягаемая арматура класса А-III (R_s = 365 МПа); площадь сечения арматуры S : А_sр = 1570 мм² (80Æ5) и А_s = 236 мм² (3Æ10); площадь сечения арматуры S' - А'_sр = 392 мм² (20Æ5); предварительное напряжение с учетом всех потерь: для арматуры S при g_sp < 1 — s_sp = 630 МПа, для арматуры S' при g_sp > 1 - s'_sp = 880 МПа; натяжение арматуры механическое; изгибающий момент М = 650 кН×м.

Требуется проверить прочность сечения.

Р а с ч е т. h₀ = 700 — 60 = 640 мм. Определяем напряжение в предварительно напряженной арматуре сжатой зоны s_sc согласно п. 3.8.

Так как g_b2 = 0,9, принимаем s_sc,u = 500 МПа (см. п. 3.6).

s_sc = s_sc,u - s'_sp = 500 - 880 = -380 МПа.

Из формулы (24) определим значение x₁:

= 0,634.

Поскольку напрягаемая арматура класса Вр-II, принимаем значение Ds_sp = 0 (см. п. 3.6).

Из табл. 26 при g_b2 > 0,9, классе арматуры Вр-II, классе бетона В30 и (s_sp + Ds_sp) / R_s = 630 / 1050 = 0,6 находим значение x_R = 0,46.

Так как x₁ = 0,634 > x_R = 0,46, прочность сечения проверяем из условия (28).

Из табл. 28 находим при x = x₁ = 0,634 a_m = 0,433, а при x_R = 0,46 a_R = 0,354.

Тогда 15,5×300×640² -

- 380×392(640 - 30) = 660×10⁶ Н×мм = 660 кH×м > М = 650 кН×м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 5. Дано: размеры сечения — b = 300 мм, h = 700 мм, а = a¢_s = 50 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); напрягаемая арматура S класса A-IV (R_s = 510 МПа); ненапрягаемая арматура S' класса А-III (R_sc = 365 МПа), площадью сечения A¢_s = 804 мм² (1Æ32); изгибающий момент М = 500 кН×м.

Требуется определить площадь сечения продольной напрягаемой арматуры.

Р а с ч е т. h₀ = 700 — 50 = 650 мм. Площадь сечения продольной напрягаемой арматуры, расположенной в растянутой зоне, определяем согласно п. 3.12. По формуле (35) вычисляем значение a_m:

= 0,198 .

Из табл. 28 по значению a_m = 0,198 находим x = 0,223. Из табл. 26 при g_b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В25, принимая, согласно примеч. 1, (s_sp + Ds_sp) / R_s = 0,6, находим значение x_R = 0,54.

Поскольку x = 0,223 < x_R = 0,54, то площадь сечения арматуры определяем по формуле (34).

Так как x = 0,223 < 0,5 x_R = 0,5×0,54 = 0,27, то, согласно п. 3.7, g_s6 = h = 1,2.

Отсюда

= 1410 мм² .

Принимаем в сечении 3Æ25 (A_sp = 1473 мм²).

Тавровые и двутавровые сечения

Пример 6. Дано: размеры сечения — b'_f = 1120 мм, h'_f = 30 мм, b = 100 мм, h = 300 мм, a = 30 мм; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); предварительно напряженная арматура класса A-IV (R_s = 510 МПа); изгибающий момент = 23 кН×м.

Требуется определить площадь сечения арматуры.

Р а с ч е т. h₀ = 300 - 30 = 270 мм. Расчет ведем, согласно указаниям п. 3.15, в предположении, что сжатой ненапрягаемой арматуры не требуется. Проверяем условие (44):

R_bb'_fh'_f (h₀ - 0,5h¢_f) = 13×1120×30 (270 - 0,5×30) = 111,4 кН×м > M = 23 кН×м, т.е. граница сжатой зоны проходит в полке, и расчет производим как для прямоугольного сечения шириной b = b¢_f = 1120 мм согласно п. 3.11.

Определим значение a_m по формуле (30):

= 0,0217 .

Из табл. 26 при g_b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В25, принимая, согласно примеч. 1, (s_sp + Ds_sp) / R_s = 0,6, находим x_R = 0,54. Тогда из табл. 28 при x_R = 0,54 a_R = 0,394.

Так как a_m = 0,0217 < a_R = 0,394, сжатой арматуры не требуется, и площадь сечения арматуры S вычисляем по формуле (31). Для этого по табл. 28 при a_m = 0,0217 находим z = 0,989 и x = 0,022.

Так как x = 0,022 < 0,5 x_R = 0,5×0,54 = 0,27, то, согласно п. 3.7, g_s6 = h = 1,2.

Тогда при А_s = 0

= 140 мм² .

Принимаем 1Æ14 (А_sр = 154 мм²).

Пример 7. Дано: размеры сечения — b'_f = 280 мм, h'_f = 200 мм, b = 80 мм, h = 900 мм, a = 72 мм, a' = 40 мм; бетон тяжелый класса В30 (R_b = 15,5 МПа при g_b2 = 0,9); напрягаемая арматура S класса A-IV (R_s = 510 МПа), площадью сечения А_sр = 2036 мм² (8Æ18); ненапрягаемая арматура S' класса А-III (R_sc = 365 МПа), площадью сечения А'_s = 226 мм² (2Æ12); предварительное напряжение арматуры при g_sp < 1: без учета потерь - s_sp1 = 380 МПа, с учетом всех потерь - g_sp2 = 320 МПа; потери по поз. 3—5 табл. 4 отсутствуют; натяжение арматуры механическое; изгибающий момент M = 790 кН×м.

Требуется проверить прочность сечения.

Р а с ч е т. h₀ = 900 — 72 = 828 мм. Проверяем условие (37), принимая g_s6 = 1:

R_bb'_fh'_f + R_scA'_s = 15,5×280×200 + 365×226 = 950 500 H < g_s6 R_s A_sp = 1×510×2036 = 1 038 400 H, т.е. условие (37) не соблюдается; при g_s6 > 1 это условие тем более не будет соблюдаться и, следовательно, граница сжатой зоны проходит в ребре, а прочность сечения проверяем согласно п. 3.13б.

Из формулы (38) определим значение

= 0,327 .

Поскольку натяжение арматуры класса A-IV механическое, определим значение Ds_sp согласно п. 3.6, принимая s_sp1 = 380 МПа:

= -80 МПа < 0 .

Принимаем Ds_sp = 0.

Из табл. 26 при g_b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В30 и (s_sp + Ds_sp) / R_s = 320 / 510 = 0,627 находим x_R = 0,52.

Поскольку x₁ = 0,327 < x_R = 0,52, расчет ведем из условия (39) с учетом коэффициента g_s6, определяемого по формуле (41):

= 0,684 ;

h = 1,2 (см. п. 3.7);

=

= 1,082 < h = 1,2.

Высота сжатой зоны равна:

340 мм.

Тогда R_bbx(h₀ - 0,5x) + R_b (b'_f - b)h¢_f(h₀ - 0,5h¢_f)+ R_scA¢_s (h₀ - а'_s) =

= 15,5×80×340(828 - 0,5×340) + 15,5×200×200(828 - 0,5×200) +

+ 365×226(828 - 40) = 795×10⁶ Н×мм = 795 кН×м > М= 790 кН×м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 8. Дано: балка покрытия с размерами сечения - b'_f = 280 мм, h'_f = 200 мм, b = 80 мм, h = 900 мм, a = 90 мм, a¢_s = 40 мм; бетон тяжелый класса В35; напрягаемая арматура S из канатов класса К-7, диаметром 15 мм (R_s = 1080 МПа); ненапрягаемая арматура S' класса A-III (R_sc = 365 МПа), площадью сечения А¢_s = 226 мм² (2Æ12); изгибающие моменты: без учета нагрузки от подвесного транспорта M_I = 740 кН×м, с учетом нагрузки от подвесного транспорта M_II = 1000 кН×м.

Требуется определить площадь сечения напрягаемой арматуры S.

Р а с ч е т. Проверяем условие (19) :

0,82M_II = 0,82×1000 = 820 кН×м > M_I = 740 кН×м, т.е. расчет ведем только по случаю «б» — на действие момента М = М_II = 1000 кН×м, принимая R_b = 21,5 МПа при g_b2 = 1,1;

h₀ = h - a = 900 - 90 = 810 мм.

Проверяем условие (44):

R_b b'_f h'_f - 0,5h'_f) + R_sc A¢_s (h₀ - a¢_s ) = 21,5×280×200(810 - 0,5×200) +

+ 365×226(810 - 40) = 918×10⁶ Н×мм = 918 кН×м < M= 1000 кН×м,

т.е. граница сжатой зоны проходит в ребре, и поэтому требуемую арматуру определяем согласно п. 3.15б.

По формуле (46) определяем значение a_m:

= 0,29.

Из табл. 28 при a_m = 0,29 находим x = 0,35.

Из табл. 26 при g_b2 = 1,1, классе арматуры К-7, классе бетона В35 и (s_sp + Ds_sp) / R_s = 0,6 находим x_R = 0,38.

Так как x = 0,35 < x_R = 0,38, то сжатой арматуры поставлено достаточно, и площадь сечения арматуры S вычисляем по формуле (45).

Для этого, согласно п. 3.7, определим коэффициент g_s6.

Для арматуры класса К-7 h = 1,15.

= 1,024 < h = 1,15.

Тогда

= 1293 мм².

Принимаем 10Æ15 (А_sp = 1416 мм²).

ЭЛЕМЕНТЫ, РАБОТАЮЩИЕ НА КОСОЙ ИЗГИБ

3.17. Расчет прямоугольных, тавровых, двутавровых и Г-образных сечений элементов, работающих на косой изгиб, допускается производить, принимая форму сжатой зоны по черт. 7; при этом должно удовлетворяться условие

М_х £ R_b [S_on,x +A_web (h₀ - x₁/3)] R_sc S_sx + s_sc S_spx , (47)

где М_х — составляющая изгибающего момента в плоскости оси х (за оси х и у принимаются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре, параллельно сторонам сечения; для сечения с полкой ось х принимается параллельно плоскости ребра);

A_web = A_b - A_on ; (48)

A_b — площадь сжатой зоны бетона, равная:

; (49)

A_on — площадь сечения наиболее сжатого свеса полки;

x₁ — размер сжатой зоны бетона по наиболее сжатой стороне сечения, определяемый по формуле

x₁ = -t + ; (50)

здесь ; (51)

S_on,x — статический момент площади А_on в плоскости оси х относительно оси у;

S_on,y — то же, в плоскости оси у относительно оси x;

b₀ — расстояние от равнодействующей усилий в растянутой арматуре до наиболее сжатой боковой стороны сечения (грани ребра);

b — угол наклона плоскости действия изгибающего момента к оси x, т.e. ctg b =M_x / M_y;

S_sx, S_spx — статические моменты площади сечения соответственно ненапрягаемой и напрягаемой арматуры относительно оси у.

Черт. 7. Форма сжатой зоны в поперечном сечении железобетонного элемента, работающего на косой изгиб

а — таврового сечения; б — прямоугольного сечения; 1-1 — плоскость действия изгибающего момента; 2 — точка приложения
равнодействующей усилий в растянутой арматуре

При расчете прямоугольных сечений значения A_on, S_on,x и S_on,y в формулах (47), (48) и (51) принимаются равными нулю.

Если A_b < А_on или если х < 0,2h¢_f, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b = b'_f.

Если выполняется условие

, (52)

где b_on — ширина наименее сжатого свеса полки,

расчет производится без учета косого изгиба, т.е. по формулам пп. 3.9 и 3.13 на действие момента М = М_x; при этом следует проверить условие (55), принимая х₁, как при косом изгибе.

Приведенную методику расчета следует применять, если относительная высота сжатой зоны, измеренная по нормали к границе сжатой зоны и определяемая по формуле (53), меньше или равна x_R (см. п. 3.6):

, (53)

где b_on — ширина наиболее сжатого свеса;

q — угол наклона прямой, ограничивающей сжатую зону, к оси у, значение tg q определяется по формуле

tg q = x₁² / (2A_web), (54)

x₁ — для определения x₁ вычисляется по формуле (50) при g_s6 = 1,0.

Для проверки условия (47) коэффициент g_s6 в формуле (49) определяется, согласно п. 3.7, при значении x, принимаемом равным:

при отсутствии в сжатой зоне полки x = x₁ ;

при наличии в сжатой зоне полки x = (x₁ + x_R) / 2.

Если выполняется условие

x₁ > x_R , (55)

следует произвести повторный расчет с заменой для напрягаемой арматуры в формуле (49) значения g_s6 R_s напряжением s_s, равным:

для арматуры с условным пределом текучести (см. п. 2.16):

при x £ x_el (где x_el — см. п. 3.18 или табл. 31)

; (56)

при x > x_el

, (57)

где b - см. п. 3.18;

s_sc,u , w, s_sp — см. п. 3.6; значение w, а также выражение можно находить по табл. 31;

для арматуры с физическим пределом текучести — по формуле (57).

При этом ненапрягаемую арматуру с физическим пределом текучести, если площадь ее сечения не превышает 0,2A_sp, допускается учитывать в формуле (49) с полным расчетным сопротивлением. При большей площади указанной ненапрягаемой арматуры, если x > x_R (где x_R определено для этой арматуры), в формуле (49) значение R_s для ненапрягаемой арматуры заменяется на напряжение s_s, определяемое по формуле (57).

Если выполняются условия (58) и (59), то расчет на косой изгиб производится по формулам общего случая расчета нормального сечения согласно п. 3.18:

для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне

x₁ > h ; (58)

для двутавровых и тавровых сечений с полкой в растянутой зоне

x₁ > h - h_f - b_on,t tg q , (59)

где h_f, b_on,t — высота и ширина наименее растянутого свеса полки (черт.8).

Черт. 8. Двутавровое сечение со сжатой зоной, заходящей
в наименее растянутый свес полки

1-1— плоскость действия изгибающего момента

При использовании формул настоящего пункта за растянутую арматуру площадью А_sp и А_s рекомендуется принимать арматуру, располагаемую вблизи растянутой грани, параллельной оси у, а за сжатую арматуру площадью А'_sp и A'_s - арматуру, располагаемую вблизи сжатой грани, параллельной оси у, но по одну наиболее сжатую сторону от оси х (см. черт. 7).

Если арматура распределена по сечению, что не позволяет до расчета определить площади и центры тяжести сечений арматуры S и S', расчет также производится по формулам общего случая согласно п. 3.18.

При наличии ненапрягаемой арматуры с условным пределом текучести учитывается примечание к п. 3.3.

Примеры расчета

Пример 9. Дано: железобетонный прогон кровли с уклоном 1:4; размеры сечения по черт. 9; класс бетона В25 (R_b = 13 МПа при g_b2 = 0,9); арматура S класса A-IV (R_s = 510 МПа) площадью сечению А_sp = 314,2 мм² (1Æ20); арматура S' класса A-III (R_sc = 365 МПа) площадью сечения А¢_s = 226 мм² (2Æ12); предварительное напряжение арматуры при g_sp < 1 с учетом всех потерь s_sp = 306 МПа; натяжение арматуры - электротермическое.

Требуется определить предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости.

Р а с ч е т ведем без учета стержня, расположенного в наименее сжатом свесе. Из черт. 9 имеем:

h₀ = h - а = 300 - 30 = 270 мм; b₀ = = 55 мм;

b_on = b¢_on = 55 мм; h¢_f = 60 мм.

Черт. 9. К примеру расчета 9

1-1 — плоскость действия изгибающего момента

Определяем площадь сжатой зоны бетона по формуле (49), учитывая один стержень арматуры S¢, т.е. А¢_s = 113 мм² (1Æ12), и принимая g_s6 = 1:

= 9154 мм² .

Площадь сечения наиболее сжатого свеса и ее статические моменты относительно осей х и у соответственно равны:

А_оn = b'_on h'_f = 55×60 = 3300 мм²;

S_on,y = A_оn (b₀ + 0,5b¢_on) = 3300 (55 + 0,5×55) = 272 000 мм³ ;

S_on,x = A_оn (h₀ - 0,5h'_f) = 3300 (270 - 0,5×60) = 792 000 мм³

Так как А_b >А_on, далее расчет производим как для таврового сечения:

A_web = A_b - A_on = 9154 - 3300 = 5854 мм².

Определяем размер сжатой зоны х₁ по формуле (50), принимая ctg b = 4:

= 0,9 мм ;

х₁ = -t + = 215,7 мм .

Проверим условие (52):

= 53,2 мм < х₁ = 215,7 мм,

следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба.

Определим значение x₁ по формуле (53), вычислив:

3,97 ;

= 0,614 .

Поскольку натяжение арматуры электротермическое неавтоматизированное, принимаем, согласно п. 3.6, Ds_sp = 0.

Из табл. 26 и 31 при g_b2 = 0,9, классе арматуры A-IV, классе бетона В25 и при (s_sp + Ds_sp) / R_s = 306/510 = 0,6 находим x_R = 0,54 и x_el = 0,7.

Поскольку выполняется условие (55):

x₁ = 0,614 > x_R = 0,54,

расчет повторяем, заменяя в формуле (49) значение R_s на напряжение s_s, определенное по формуле (56).

Согласно п. 3.18, b = 0,8;

= 486 МПа;

= 8574 мм² ;

A_web = 8574 - 3300 = 5274 мм² ;

9 мм ;

х₁ = -9 + = 197 мм .

Определяем предельный изгибающий момент в плоскости оси х из условия (47):

М_х,u = R_b[S_on,x +A_web (h₀ - х₁/3)] + R_sc S_sx = 13[792000+5274(270-197/3)] +

+ 365×113(270 - 20) = 34,6×10⁶ Н×мм = 34,6 кН×м.

Предельный изгибающий момент в вертикальной плоскости равен:

= 35,6 кН×м .

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
ИЗГИБАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ПРИ ЛЮБЫХ ФОРМАХ
СЕЧЕНИЯ, НАПРАВЛЕНИЯХ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО
МОМЕНТА И ЛЮБОМ АРМИРОВАНИИ)

3.18 (3.28). Расчет нормальных сечений изгибаемого элемента в общем случае (черт. 10) выполняется из условия

M £ R_b S_b - Ss_si S_si , (60)

где М — проекция момента внешних сил на плоскость, перпендикулярную прямой, ограничивающей сжатую зону сечения;

S_b — статический момент площади сжатой зоны бетона относительно оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня;

S_si — статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

s_si — напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Черт. 10. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении,
нормальном к продольной оси железобетонного элемента,
в общем случае расчета по прочности

1-1 - плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента; 1 - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

Высота сжатой зоны х и напряжения s_si определяются из совместного решения уравнений:

R_b A_b = Ss_si A_si , (61)

при x_i £ x_Ri

, (62)

где h - см. п. 3.7;

при x_el,i ³ x_i > x_Ri

; (63)

при x_i > x_el,i

. (64)

Для продольной арматуры с физическим пределом текучести (см. п. 2.16) при x_i > x_Ri используется только уравнение (64).

В формулах (61) - (64):

A_b — площадь сжатой зоны бетона;

A_si — площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;

x_i —относительная высота сжатой зоны, равная:

,

где h_0i - расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня арматуры и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (см. черт. 10);

x_Ri, x_el,i - относительная высота сжатой зоны, отвечающая достижению в рассматриваемом стержне напряжений, соответственно равных R_si и bR_si, значение x_Ri определяют по формуле (21) п. 3.6, значение x_el,i — также по формуле (21), принимая

s_sR = bR_si - s_spi , (65)

здесь b - коэффициент, принимаемый равным:

при механическом, а также автоматизированных электротермическом и электротермомеханическом способах натяжения арматуры классов A-IV, A-V, A-VI

, (66)

где s_sp1i - определяется при g_sp < 1,0 (см. п. 1.18) с учетом потерь по поз. 3—5 табл. 4;

s_sc,u, w - см. п. 3.6;

при иных, кроме указанных выше, способах натяжения арматуры классов A-IV, A-V и A-VI, а также для арматуры классов В-II, Вр-II, К-7 и К-19 при любых способах натяжения b = 0,8.

Напряжения s_si, определенные по формуле (64), вводятся в расчет со своими знаками; при этом напряжения со знаком «плюс» означают растягивающие напряжения, а напряжения со знаком «минус» — сжимающие. Напряжения s_si принимаются не менее -R_sc (максимальное сжимающее напряжение) и не менее s_sp — s_sc,u .

Напряжение s_spi в формуле (64) определяется при коэффициенте g_sp < 1,0, если рассматриваемый стержень расположен в растянутой зоне, и g_sp > 1,0, если стержень расположен в сжатой зоне.

Для определения положения границы сжатой зоны при косом изгибе (т.е. когда плоскость действия момента не перпендикулярна прямой, ограничивающей сжатую зону) кроме использования формул (61)-(64) требуется соблюдение условия параллельности плоскости действия моментов внешних и внутренних сил.

Если в сечении можно выявить характерную ось (например, ось симметрии или ось ребра Г-образного сечения), то при косом изгибе расчет рекомендуется производить в следующем порядке.

1. Провести две оси х и у соответственно параллельно и перпендикулярно указанной характерной оси через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня.

2. Подобрать последовательными приближениями положение прямой, ограничивающей сжатую зону, при постоянном угле ее наклона q так, чтобы удовлетворялось равенство (61) после подстановки в него значений s_si, определенных по формулам (62)-(64); при этом угол q в первом приближении принять равным углу наклона нулевой линии, определенному как для упругого материала.

3. Определить моменты внутренних сил в плоскости осей х и у соответственно M_x,u и M_y,u.

4. Если оба момента оказываются больше или меньше соответствующих составляющих внешнего момента (М_x и M_y), то прочность сечения считается соответственно обеспеченной или необеспеченной.

5. Если один из этих моментов (например, М_у,u) меньше соответствующей составляющей внешнего момента (M_y), а другой момент больше составляющей внешнего момента (т.е. М_x,u > М_s), то следует задаться другим углом q (бóльшим, чем ранее принятый) и снова выполнить аналогичный расчет.

Примеры расчета

Пример 10. Дано: железобетонная шпала с размерами расчетного поперечного сечения по оси рельса - по черт. 11; бетон тяжелый класса В40 (R_b = 24 МПа при g_b2 = 1,1); арматура из проволоки класса Вр-II, диаметром 3 мм (R_s = 1215 МПа); предварительное напряжение арматуры при g_sp < 1 s_sp = 975 МПа; изгибающий момент в расчетном сечении М = 26 кН×м.

Требуется проверить шпалу на прочность.

Черт. 11. К примеру расчета 10

Р а с ч е т. В связи с распределенным характером расположения арматуры по сечению расчет производим по общему случаю согласно п. 3.18.

По формуле (21) п. 3.6 определяем значения x_R и x_el. Для этого вычислим w = 0,85 - 0,008 R_b = 0,85 - 0,008×24 = 0,658. Поскольку арматура проволочная, принимаем Ds_sp = 0 и b = 0,8, s_sc,u = 400 МПа (так как g_b2 = 1,1).

Значение s_sR равно:

при вычислении x_R

s_sR = R_s + 400 - s_sp = 1215 + 400 - 975 = 640 МПа;

при вычислении x_el

s_sR = bR_s - s_sp = 0,8 × 1215 - 975 = -3 МПа.

Отсюда имеем:

.

Задавшись высотой сжатой зоны х, определим напряжение s_si каждого горизонтального ряда спаренных проволок по формулам (62)-(64) :

при x_i £ x_R

;

при x_el ³ x_i > x_R

= 1640 - 1010 x ;

при x_i > x_el

.

Затем определим сумму усилий во всех рядах проволок Ss_siA_si, где A_si принимается равной площади сечения арматуры в одном i-м ряду, параллельном нейтральной оси.

В первом приближении значение х определим из уравнения (61), принимая среднее напряжение в арматуре равным 0,9R_s = 0,9×1215 = 1093 МПа;

SA_si = 367 мм² (52Æ3),

отсюда = 16700 мм² .

Поскольку сжатая зона имеет трапециевидную форму, высоту сжатой зоны х определим из уравнения (см. черт. 11)

откуда =

= 87,5 мм.

Вычисления приводим в табличной форме (табл. 28а).

Таблица 28а

Окончание табл. 28а

Исходя из вычисленного значения Ss_siA_si (с учетом х = 87,5 мм), вновь определяем:

12900 мм² ;

х = -313 + 70 мм < 87,5 мм ,

т.е. значение х в первом приближении принято завышенным.

Во втором приближении значением принимаем равным 76 мм и производим аналогичный расчет (см. табл. 28а) :

14450 мм² ;

х = -313 + 78 мм » 76 мм ,

т.е. значение х = 76 мм принято правильно.

Определим статический момент сжатой зоны бетона в виде трапеции относительно нижнего ряда проволок S_b. Ширина сечения по границе сжатой зоны равна:

b₂ = 167 + 2×0,267×76 = 208 мм; b₁ = 167 мм.

Тогда S_b =

1,65 × 10⁶ мм³.

Момент усилия в арматуре относительно центра тяжести нижнего ряда проволок определим по формуле

S s_si S_si = S s_si A_si (h₀₁ - h_oi) .

Вычисление S s_si S_si приведено в табл. 28а.

Проверяем условие (60):

R_bS_b - S s_si S_si = 24×1,65×10⁶ - 11,9×10⁶ = 27,7×10⁶ Н×мм =

= 27,7 кН×м > М = 26 кН×м,

т.е. прочность шпалы обеспечена.

РАСЧЕТ СЕЧЕНИЙ, НАКЛОННЫХ К ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ ЭЛЕМЕНТА

3.19 (3.29). Расчет элементов по наклонным сечениям должен производиться для обеспечения прочности:

на действие поперечной силы по наклонной полосе между наклонными трещинами - согласно п. 3.21;

на действие поперечной силы по наклонной трещине для элементов с поперечной арматурой — согласно пп. 3.22—3.29, для элементов без поперечной арматуры — согласно п. 3.30;

на действие изгибающего момента по наклонной трещине — согласно пп. 3.31—3.34.

Расчет элементов с поперечной арматурой на действие поперечной силы, согласно пп. 3.22—3.29, не производится, если выполняются условия прочности п. 3.30. При соблюдении этих условий поперечная арматура определяется конструктивными требованиями (см. пп. 5.41 и 5.42).

П р и м е ч а н и е. В настоящем Пособии под поперечной арматурой имеются в виду хомуты и отогнутые стержни (отгибы). Термин «хомуты» включает в себя поперечные стержни сварных каркасов и хомуты вязаных каркасов.

3.20. Расстояния между хомутами s, между опорой и концом отгиба, ближайшего к опоре, s₁, а также между концом предыдущего и началом последующего отгиба s₂ (черт. 12) должны быть не более величины

, (67)

где j_n — см. п. 3.22;

j_b4 — см. табл. 29.

Кроме того, эти расстояния должны удовлетворять конструктивным требованиям пп. 5.42 и 5.44.

Черт. 12. Расстояния между хомутами и отгибами

РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ
ПО НАКЛОННОЙ СЖАТОЙ ПОЛОСЕ

3.21 (3.30). Расчет элементов на действие поперечной силы для обеспечения прочности по наклонной полосе между наклонными трещинами должен производиться из условия

Q £ 0,3 j_w1 j_b1 R_b b h₀ , (68)

где Q - поперечная сила, принимаемая на расстоянии от опоры не менее h₀;

j_w1 — коэффициент, учитывающий влияние хомутов, нормальных к продольной оси элемента, и определяемый по формуле

j_w1 = 1 + 5am_w , (69)

но не более 1,3;

;

j_b1 — коэффициент, определяемый по формуле

j_b1 = 1 - b R_b , (70)

b — коэффициент, принимаемый равным для бетона:

тяжелого и мелкозернистого ....... 0,01

легкого ......................................... 0,02

R_b — в МПа.

При линейном изменении ширины b по высоте в расчет [в формулы (67), (68) и последующие] вводится ширина сечения на уровне середины высоты сечения без учета полок.

РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ
ПО НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНЕ

Элементы постоянной высоты, армированные хомутами
без отгибов

3.22. Проверка прочности наклонного сечения на действие поперечной силы по наклонной трещине (черт. 13) производится из условия

Q £ Q_b + q_sw c₀ , (71)

где Q — поперечная сила от внешней нагрузки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения; при вертикальной нагрузке, приложенной к верхней грани элемента, значение Q принимается в нормальном сечении, проходящем через наиболее удаленный от опоры конец наклонного сечения; при нагрузке, приложенной к нижней грани элемента или в пределах высоты его сечения, также допускается значение Q принимать в наиболее удаленном от опоры конце наклонного сечения, если хомуты, установленные на действие отрыва¹, не учитываются в данном расчете; при этом следует учитывать возможность отсутствия временной нагрузки на участке в пределах наклонного сечения;

¹ Расчет на отрыв производится согласно п. 3.97 «Пособия по проектированию бетонных и железобетонных конструкций из тяжелых и легких бетонов без предварительного напряжения арматуры» (М., ЦИТП Госстроя СССР, 1986).

Черт. 13. Схема усилий в наклонном сечении элемента, армированного хомутами без отгибов, при расчете его на действие поперечной силы

Q_b — поперечное усилие, воспринимаемое бетоном и равное:

. (72)

Здесь M_b = j_b2 (1 + j_f + j_n) R_bt b h₀² ; (73)

j_b2 — коэффициент, учитывающий вид бетона и определяемый по табл. 29;

j_f — коэффициент, учитывающий влияние сжатых полок и определяемый по формуле

, но не более 0,5 ; (74)

при этом величина (b¢_f - b) принимается не более 3h¢_f,

учет полок производится, если поперечная арматура в ребре заанкерена в полке, где расположена поперечная арматура, соединяющая свесы полки с ребром;

j_n — коэффициент, учитывающий влияние предварительного напряжения арматуры растянутой зоны и определяемый по формуле

, (75)

где P = s_sp A_sp - s_s A_s; суммарный коэффициент 1 + j_f + j_n принимается не более 1,5;

с - длина проекции наклонного сечения на продольную ось элемента.

Таблица 29

Значение Q_b принимается не менее

Q_b,min = j_b3 (1 + j_f + j_n) R_bt b h₀ (j_b3 - см. табл. 29);

q_sw — усилие в хомутах на единицу длины элемента в пределах наклонного сечения, определяемое по формуле

q_sw = ; (76)

c₀ — длина проекции наклонной трещины на продольную ось элемента, принимаемая равной:

c₀ = , (77)

но не более с и не более 2h₀, а также не менее h₀, если с > h₀.

При этом для хомутов, устанавливаемых по расчету (т.е. когда не выполняются условия п. 3.30), должно удовлетворяться условие

q_sw ³ . (78)

Разрешается не выполнять условие (78), если в формуле (73) учитывать такое уменьшенное значение R_bt b, при котором условие (78) превращается в равенство, т.е. если принимать М_b = 2 h₀² q_sw ; в этом случае всегда с₀ = 2h₀, но не более с.

При проверке условия (71)в общем случае задаются рядом наклонных сечений при различных значениях с, не превышающих расстояния от опоры до сечения с максимальным изгибающим моментом, а также значения (j_b2 / j_b3) h₀ .

При действии на элемент сосредоточенных сил значения с принимаются равными расстояниям от опоры до точек приложения этих сил (черт. 14).

Черт. 14. Расположение невыгоднейших наклонных сечений при
действии на элемент сосредоточенных и прерывистых нагрузок

1-1 и 2-2 - наклонные сечения, проверяемые на действие соответственно сил Q₁ и Q₂

При расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки q значение с принимается равным , а если q₁ > 0,56q_sw, следует также принимать с = , где значение q₁ определяется следующим образом:

а) если равномерно распределенная нагрузка q всегда сплошная — q₁ = q,

б) если нагрузка q включает в себя временную эквивалентную равномерно распределенную нагрузку n (т.е. временная нагрузка несплошная, а эпюра моментов М от принятой в расчете нагрузки v всегда огибает эпюру М от любой фактической временной нагрузки) — q₁ = g + n/2 (g — постоянная сплошная нагрузка).

При этом значение Q принимается равным Q_max - q₁c (Q_max — поперечная сила в опорном сечении).

3.23. Определение требуемой интенсивности хомутов, выражаемой через qfw (см. п. 3.22), производится следующим образом:

а) при действии на элемент сосредоточенных сил, располагаемых на расстояниях с_i от опоры, для каждого наклонного сечения с длиной проекции c_i, не превышающей расстояния до сечения с максимальным изгибающим моментом, значение q_sw определяется в зависимости от коэффициента x_i =(где Q_bi — см. п. 3.22) по одной из следующих формул:

при x_i < x_0i = q_sw(i) = ; (79)

при x_0i £ x_i £ q_sw(i) = ; (80)

при q_sw(i) = ; (81)

при x_i > q_sw(i) = (82)

(здесь h₀ принимается не более с_i).

Окончательно принимается наибольшее значение q_sw(i).

В формулах (79) - (82) :

Q_i - поперечная сила в нормальном сечении, расположенном на расстоянии с_i от опоры;

c₀ - принимается равным с_i, но не более 2h₀;

б) при действии на элемент только равномерно распределенной нагрузки q требуемая интенсивность хомутов определяется по формулам:

при Q_max £ ; (83)

при ; (84)

в обоих случаях q_sw принимается не менее ;

при Q_max > q_sw = . (85)

В случае, если полученное значение q_sw не удовлетворяет условию (78), следует снова вычислить q_sw по формуле

,

где Q_b1 = ;

Q_max - поперечная сила в опорном сечении;

M_b, q₁, j_b2, j_b3 - см. п. 3.22.

3.24. При уменьшении интенсивности хомутов от опоры к пролету с q_sw1 на q_sw2 (например, увеличением шага хомутов) следует проверить условие (71) при значениях с, превышающих l₁ - длину участка элемента с интенсивностью хомутов q_sw1 (черт. 15). При этом выражение q_swc₀ заменяется:

при c - l₁ < c₀₁ на q_sw1 c₀₁ - (q_sw1 - q_sw2) (c - l₁) ;

при c₀₂ > c - l₁ ³ c₀₁ на q_sw2 (c - l₁) ;

при c - l₁ ³ c₀₂ на q_sw2 c₀₂ ,

где значения c₀₁ и c₀₂ определяются по формуле (77) при q_sw, соответственно равном q_sw1 и q_sw2.

Черт. 15. Изменение интенсивности хомутов в пределах наклонного
сечения

При действии на элемент равномерно распределенной нагрузки длина участка l₁ с интенсивностью q_sw1 определяется следующим образом:

при q₁ > q_sw1 - q_sw2 ,

где , но не более ;

при q₁ £ q_sw1 - q_sw2 .

Здесь q₁ — см. п. 3.22.

Если для интенсивности q_ыц2 не выполняется условие (78), длина l₁ вычисляется при скорректированных значениях М_b = 2h₀² q_sw2 j_b2 / j_b3 и Q_b,min = 2 h₀ q_sw2 ; при этом выражение (Q_b,min + q_sw2 c₀₁) принимается не менее нескорректированного значения Q_b,min.

Элементы постоянной высоты, армированные отгибами

3.25. Проверка прочности наклонного сечения на действие поперечной силы для элемента с отгибами производится из условия (71) п. 3.22 с добавлением к правой части условия (71) значения

Q_s,inc = A_s,inc R_sw sin q , (86)

где A_s,inc - площадь сечения отгибов, пересекающих опасную наклонную трещину с длиной проекции c₀;

q - угол наклона отгибов к продольной оси элемента.

Значение c₀ принимается равным длине участка элемента в пределах рассматриваемого наклонного сечения, для которого выражение q_swc₀ + Q_s,inc + М_b / c₀ принимает минимальное значение. Для этого рассматриваются участки от конца наклонного сечения или от конца отгиба в пределах длины с до начала отгиба, более близкого к опоре или до опоры (черт. 16), при этом длина участка принимается не более значения c₀, определяемого по формуле (77).

Черт. 16. К определению наиболее опасной наклонной трещины
для элементов с отгибами

1, 2, 3 — возможные наклонные трещины; 4-4 — рассматриваемое
наклонное сечение

Наиболее опасная наклонная трещина на черт. 16 соответствует минимальному значению из следующих выражений:

q_sw c₀₁ + R_sw A_s,inc1 sin q₁ + M_b / c₀₁ ;

q_sw c₀ + R_sw A_s,inc2 sin q₂ + M_b / c₀ [здесь с₀ - см. формулу (77)];

q_sw c₀₃ + M_b / c₀₃ .

Значения с принимаются равными расстояниям от опоры до конца отгибов, а также до мест приложения сосредоточенных сил (см. черт. 16), кроме того, следует проверить наклонные сечения, заканчивающиеся на расстоянии с₀, определяемом по формуле (77), от начала последнего и предпоследнего отгибов.

Элементы переменной высоты с поперечным армированием

3.26 (3.33). Расчет элементов с наклонными сжатыми гранями на действие поперечной силы производится согласно пп. 3.22, 3.24 и 3.25 с учетом указаний пп. 3.27 и 3.28, принимая в качестве рабочей высоты наибольшее значение h₀ в пределах рассматриваемого наклонного сечения (черт. 17, а, в).

Расчет элементов с наклонными растянутыми гранями на действие поперечной силы допускается производить согласно пп. 3.22, 3.24 и 3.25, также принимая в качестве рабочей высоты наибольшее значение h₀ в пределах наклонного сечения в растянутой зоне (черт. 17, б).

Черт. 17. Наклонные сечения элементов с переменной высотой сечения

а - балка с наклонной сжатой гранью; б - балка с наклонной растянутой гранью; в - консоль с наклонной сжатой гранью

3.27. Для балок без отгибов с высотой, равномерно увеличивающейся от опоры к пролету (черт. 17, а, б), рассчитываемых на действие равномерно распределенной нагрузки q, наклонное сечение проверяется из условия (71) п. 3.22 при невыгоднейшем значении с, определяемом следующим образом:

если выполняется условие

q₁ < 0,56 q_sw - 2,5 , (87)

значение с вычисляется по формуле

; (88)

если условие (87) не выполняется, значение с вычисляется по формуле

(89)

(при этом c₀ = с),

а также, если q_sw < M_bs / (4 h₀²_s), - по формуле

(90)

(при этом c₀ = 2 h₀),

где q_inc = j_b2 (1 + j_fs + j_ns) R_bt b tg²b ;

M_bs - величина M_b, определяемая по формуле (73) как для опорного сечения балки с рабочей высотой h_{0 s}, без учета приопорного уширения;

b - угол между сжатой и растянутой гранями балки;

j_fs, j_ns - коэффициенты j_f и j_n при h₀ = h_0s.

Рабочая высота h₀ при этом принимается равной h₀ = h_0s + сtgb.

При уменьшении интенсивности хомутов от опоры к пролету следует проверить прочность наклонных сечений, заходящих в участок с меньшей интенсивностью хомутов, учитывая указания п. 3.24.

Участки балки с постоянным характером увеличения рабочей высоты h₀ не должны быть менее принятого значения с.

При действии на балку сосредоточенных сил проверяются наклонные сечения при значениях с, принимаемых согласно п. 3.22, а также определяемых, если tg b > 0,1, по формуле (89) при q₁ = 0.

3.28. Для консолей без отгибов с высотой, равномерно увеличивающейся от свободного конца к опоре (черт. 17, в), в общем случае следует проверить условие (71), задаваясь наклонными сечениями со значениями с, определяемыми по формуле (89) при q₁ = 0 и принимаемыми не более расстояния от начала наклонного сечения в растянутой зоне до опоры. При этом за h_0s и Q необходимо принимать соответственно рабочую высоту и поперечную силу в начале наклонного сечения в растянутой зоне. Кроме того, следует проверить наклонные сечения, проведенные до опоры, если при этом с₀ < с.

При действии на консоль сосредоточенных или прерывистых нагрузок начала наклонных сечений располагают в растянутой зоне нормальных сечений, проходящих через концы площадок опирания этих нагрузок (черт. 17, в).

При действии равномерно распределенной нагрузки или нагрузки, линейно увеличивающейся к опоре, консоль рассчитывают так же, как элемент с постоянной высотой сечения, согласно п. 3.22, принимая рабочую высоту h₀ в опорном сечении.

Элементы с поперечным армированием при косом изгибе

3.29. Расчет по поперечной силе элементов прямоугольного сечения, подвергающихся косому изгибу, производится из условия

, (91)

где Q_x, Q_y - составляющие поперечной силы, действующие соответственно в плоскости симметрии х и в нормальной к ней плоскости у в наиболее удаленном от опоры конце наклонного сечения;

Q_bw(х), Q_bw(y) — предельные поперечные силы, которые могут быть восприняты наклонным сечением при действии их соответственно только в плоскости х и только в плоскости у, принимаемые равными правой части условия (71).

При действии на элемент равномерно распределенной нагрузки допускается определять значения с, согласно п. 3.22, независимо для каждой плоскости х и у.

П р и м е ч а н и е. Отгибы при расчете на поперечную силу при косом изгибе не учитываются.

Элементы без поперечной арматуры

3.30 (3.32). Расчет элементов без поперечной арматуры на действие поперечной силы производится из условий:

a) Q_max £ 2,5 R_bt b h₀ , (92)

где Q_max -максимальная поперечная сила у грани опоры;

б) Q £ О_b1, (93)

где Q - поперечная сила в конце наклонного сечения, начинающегося от опоры с длиной проекции с;

Q_b1 - предельная поперечная сила, принимаемая равной M_b/с,
где М_b = j_b4 (1 + j_n) R_bt b h₀² ,

но не менее Q_b,min= j_b3 (1 + j_n) R_bt b h₀ , (94)

[при этом c = (j_b4 / j_b3) h₀ » 2,5 h₀];

j_b3, j_b4 — см. табл. 29 п. 3.22;

j_n — см. п. 3.22;

при этом, если в пределах длины с не образуются нормальные трещины [т.е. если М < М_crc , где М_crc определяется по формуле (164) п. 4.2 с заменой R_bt,ser на R_bt], Q_b1 принимается не менее

Q_crc = , (95)

где S_red - статический момент части приведенного сечения, расположенной по одну сторону от оси, проходящей через центр тяжести сечения, относительно этой оси;

t_xy,crc - касательное напряжение на уровне центра тяжести приведенного сечения, соответствующее образованию наклонных трещин и определяемое из уравнения (183) п. 4.9 с заменой R_bt,ser на R_bt и R_b,ser на R_b; допускается значение t_xy,crc = t R_bt определять без учета напряжения s_y с помощью графика на черт. 18.

График зависимости t = f (s)

¾¾ для тяжелого бетона; ----- для мелкозернистого и легкого бетонов

При действии на элемент сосредоточенных или прерывистых нагрузок значения с при проверке условия (93) принимаются равными расстояниям от опоры до начала площадок опирания этих нагрузок (см. черт. 14).

При расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки значение с принимается равным М_b1 /Q_crc (при этом Q_b1 = Q_crc), а также равным длине приопорного участка l₁, где не образуются нормальные трещины (при этом, если l₁ > 2,5 h₀, то Q_b1 = Q_b,min). В обоих случаях принимается Q = Q_max - q₁ c (где q₁ - см. п. 3.22).

РАСЧЕТ НАКЛОННЫХ СЕЧЕНИЙ НА ДЕЙСТВИЕ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА

3.31 (3.35). Расчет элементов на действие изгибающего момента для обеспечения прочности по наклонной трещине (черт. 19) должен производиться из условия

М £ (R_s A_sp + R_s A_s) z_s + S R_sw A_sw z_sw + S R_sw A_s,inc z_s,inc , (96)

где М - момент от внешней нагрузки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения, относительно оси, перпендикулярной плоскости действия момента и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне (черт. 20);

S R_sw A_sw z_sw, S R_sw A_s,inc z_s,inc - суммы моментов относительной той же оси соответственно от усилий в хомутах и в отгибах, пересекающих растянутую зону наклонного сечения;

z_s, z_sw, z_s,inc - расстояния от плоскостей расположения соответственно продольной арматуры, хомутов и отгибов до указанной выше оси.

Черт. 19. Схема усилий в наклонном сечении при расчете
по прочности на действие изгибающего момента

Черт. 20. Определение расчетного значения момента
при расчете наклонного сечения

а - для свободно опертой балки; б - для консоли

Высота сжатой зоны наклонного сечения, измеренная по нормали к продольной оси элемента, определяется из условия равновесия проекций усилий в бетоне сжатой зоны и в арматуре, пересекающей растянутую зону наклонного сечения, на продольную ось элемента согласно пп. 3.9 и 3.13. При этом принимается g_s6 = 1,0, а в случае наличия в элементе отгибов в числителе выражения для х добавляется выражение SR_sA_s,inccosq (где q - угол наклона отгибов к продольной оси элемента).

Величину z_s допускается принимать равной h₀ — 0,5х, но не более h₀-а¢, если значение х вычислено с учетом сжатой арматуры.

Величина S R_sw A_sw z_sw при хомутах постоянной интенсивности определяется по формуле

S R_sw A_sw z_sw = 0,5 q_sw c² , (97)

где q_sw — см. п. 3.22;

с — длина проекции наклонного сечения на продольную ось элемента, измеренная между точками приложения равнодействующих усилий в растянутой арматуре и в сжатой зоне (см. п. 3.33).

Величина z_s,inc для каждой плоскости отгибов определяется по формуле

z_s,inc = z_s cos q + (с - a) sin q, (98)

где а — расстояние от начала наклонного сечения до начала отгиба в растянутой зоне (см. черт. 19).

3.32. Расчет наклонных сечений на действие момента производится у грани крайней свободной опоры балок и у свободного конца консолей при отсутствии у продольной арматуры специальных анкеров, а также в местах обрыва или отгиба продольной арматуры в пролете.

Кроме того, расчет наклонных сечений на действие момента производится в местах резкого изменения конфигурации элементов (подрезки, узлы и т.п.).

Если наклонное сечение пересекает в растянутой зоне напрягаемую арматуру без анкеров на длине зоны передачи напряжений (см. п. 2.26) или ненапрягаемую арматуру без анкеров на длине зоны анкеровки (см. п. 5.32), значение расчетного сопротивления R_s соответствующей арматуры снижается путем умножения его на коэффициент условий работы g_s3 , определяемый согласно поз. 3 табл. 23.

Расчет наклонных сечений на действие момента не производится, если выполняются условия п. 3.30.

3.33. Для свободно опертых балок невыгоднейшее наклонное сечение начинается от грани опоры и имеет длину проекции с при постоянной высоте сечения, равную:

(99)

и принимаемую не более l₁ — длины приопорного участка, на котором Q ³ Q._crc (см. п. 3.30) или, если на нем образуются нормальные трещины, Q ³ Q_b1.

В формуле (99):

Q — поперечная сила в опорном сечении;

F_i, q — сосредоточенная и равномерно распределенная нагрузки в пределах наклонного сечения;

q_sw — см. формулу (76) п. 3.22;

q — угол наклона отгибов к продольной оси элемента.

Если значение с, определенное с учетом сосредоточенной силы F_i, оказывается меньше расстояния от грани опоры до этой силы F_i, а определенное без учета силы F_i — больше этого расстояния, то за значение с следует принимать расстояние до силы F_i.

Если в пределах длины с хомуты изменяют свою интенсивность с q_sw1 у начала наклонного сечения на q_sw2, то значение с определяется по формуле (99) при q_sw = q_sw2 и при уменьшении числителя на величину (q_sw2 - q_sw2)l₁, где l₁ - длина участка с интенсивностью хомутов q_sw1.

Для балок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой q с постоянной интенсивностью хомутов без отгибов, условие (96) можно заменить условием

, (100)

где М₀ - момент в сечении по грани опоры;

Q - поперечная сила в опорном сечении.

Для консолей, нагруженных сосредоточенными силами, невыгоднейшее наклонное сечение начинается от мест приложения сосредоточенных сил вблизи свободного конца и имеет длину проекции с для консолей с постоянной высотой сечения, равную:

, (101)

но не более расстояния от начала наклонного сечения до опоры. Здесь Q₁ - поперечная сила в начале наклонного сечения.

Для консолей, нагруженных только равномерно распределенной нагрузкой q, невыгоднейшее наклонное сечение заканчивается в опорном сечении и имеет длину проекции с, равную:

. (102)

При этом, если с < l - l_an или с < l - l_p, то в формуле (102) принимается соответственно R_s A_s = 0 или R_s A_sp = 0.

В формуле (102):

А_sp , А — площади сечения арматуры, доводимой до свободного конца;

l_p , l_an - длины зоны передачи напряжений и зоны анкеровки (см. пп. 2.26 и 5.32);

z_s - определяется для опорного сечения.

Для элементов с высотой сечения, увеличивающейся с увеличением изгибающего момента, при определении длины проекции невыгоднейшего сечения по формуле (99) или (101) числители этих формул уменьшаются на величину (R_s A_sp + R_s A_s)tgb при наклонной сжатой грани и на величину (R_s A_sp + R_s A_s)sinb при наклонной растянутой грани, где b - угол наклона грани к горизонтали.

3.34. Для обеспечения прочности наклонных сечений на действие изгибающего момента начало отгиба в растянутой зоне должно отстоять от нормального сечения, в котором отгибаемый стержень полностью используется по моменту, не менее чем на h₀/2, а конец отгиба должен быть расположен не ближе того нормального сечения, в котором отгиб по расчету не требуется.

Примеры расчета

Пример 11. Дано: железобетонная плита перекрытия с размерами поперечного сечения по черт. 21; бетон тяжелый класса В25 (R_b = 13 МПа, R_bt = 0,95 МПа с учетом g_b2 = 0,9, Е_b = 27×10³ МПа); ребро плиты армировано плоским каркасом с поперечными стержнями из арматуры класса Вр-I, диаметром 5 мм (А_sw = 19,6 мм², R_sw = 260 МПа, Е_s = 17×10⁴ МПа), шагом s = 150 мм; усилие обжатия от растянутой продольной арматуры Р = 130 кН; временная эквивалентная нагрузка n = 19 кН/м, нагрузка от собственного веса плиты и пола g = 4 кН/м; поперечная сила на опоре Q_max = 62 кН.

Черт. 21. К примеру расчета 11

Требуется проверить прочность по наклонной полосе ребра плиты между наклонными трещинами, а также прочность наклонных сечений по поперечной силе.

Р а с ч е т. h₀ = 400 - 40 = 360 мм. Прочность бетона ребра плиты проверяем из условия (68).

Определим коэффициенты j_w1 и j_b1:

= 0,00154 ;

;

отсюда j_w1 = 1 + 5am_w = 1 + 5×6,3×0,00154 = 1,0485 < 1,3; j_b1 = 1 - bR_b = 1 - 0,01 × 13 = 0,87.

Тогда 0,3 j_w1 j_b1 R_b b h₀ = 0,3 × 1,0485 × 0,87 × 13 × 85 × 360 = 108 700 H > Q_max = 62 кН, т.е. прочность бетона ребра плиты обеспечена.

Прочность наклонного сечения по поперечной силе проверяем из условия (71) п. 3.22.

Определим величины М и q_sw:

j_b1 = 2 (см. табл. 29) .

Так как b¢_f - b = 725 - 85 = 640 мм > 3h¢_f = 3 • 50 = 150 мм, принимаем b'_f - b = 150 мм.

Тогда

.

Поскольку 1 + j_f + j_n = 1 + 0,184 + 0,447 > 1,5, принимаем 1 + j_f + j_n = 1,5 ;

M_b = j_b2 (1 + j_f + j_n) R_bt b h₀² = 2×1,5×0,95×85×360² = 31,3 ´ 10⁶ H×мм = 31,3 кН×м;

34 Н/мм.

Проверим условие (78):

Q_{b, min} = j_b3 (1 + j_f + j_n) R_bt b h₀ = 0,6×1,5×0,95×85×360 = 26 163 H (где j_b3 = 0,6, см. табл. 29);

36,3 Н/мм > q_sw = 34 Н/мм ,

т.е. условие (78) не выполняется;

следовательно, корректируем значение М_b:

M_b = 2h₀² q_sw j_b2 / j_b3 = 2 × 360² × 34= 29,38 × 10⁶ H×мм = 29,4 кН×м и принимаем с₀ = 2h₀ = 2 × 360 = 720 мм.

Определим длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения с:

q₁ = g + n/2 = 4 + 19/2 = 13,5 кН/м (Н/мм).

Так как 0,56 q_sw = 0,56 × 34 = 19 Н/мм > q₁ = 13,5 Н/мм, значение с равно:

= 1,475 м.

Поскольку = 1,2 м < с= 1,475 м, принимаем с = 1,2 м и Q_b = Q_b,min = 26,16 кН.

Проверяем условие (71), принимая Q в конце наклонного сечения, т.е. Q = Q_max - q₁c = 62 - 13,3 • 1,2 = 45,8 кН;

Q_b + q_sw c₀ = 26,46 + 34 • 0,72 = 50,6 кН > Q = 45,8 кН,

т.е. прочность наклонного сечения обеспечена.

При этом s = 150 мм <

= 366 мм

и, кроме того, s < h/2 = 400/2 = 200 мм, т.е. требования пп. 3.21 и 5.42 выполнены.